أكثر

9.3: ميزان القوى وتحليل الأبعاد - علوم الأرض

9.3: ميزان القوى وتحليل الأبعاد - علوم الأرض


يمكننا أن نأخذ أيًا من الطريقتين في هذه المرحلة: إجراء تحليل الأبعاد لتطوير إطار رسومي للتعبير عن نتائج المراقبة وتنظيمها بشكل عقلاني ، أو محاولة تطوير حل تحليلي. لسوء الحظ ، تبين أن هذا النهج التحليلي مفيد أكثر قليلاً من تحليل الأبعاد البسيط ، وذلك لسببين: عدم انتظام الهندسة ، وتعقيدات قوة المائع نفسها.

ميزان القوى

تبدأ الجسيمات في التحرك على السرير عندما تصبح قوى الرفع والسحب المشتركة الناتجة عن السائل كبيرة بما يكفي لمواجهة قوى الجاذبية والاحتكاك التي تبقي الجسيم في مكانه. من المستحيل تحديد توازن القوى أو اللحظات التي تعمل على الجسيمات بشكل فريد لجميع الحبوب: توجد بعض الجسيمات في مواضع يسهل رفعها أو انزلاقها أو تدحرجتها أكثر من غيرها. من المستحيل أيضًا تحديد قوة مائع واحدة تنطبق على جميع الجسيمات: بعض الجسيمات أكثر تعرضًا للتدفق وتتعرض لقوى مائع أكبر من الجسيمات الأخرى ، وتتقلب قوى السوائل في الطبقة بمرور الوقت بسبب الاضطرابات في التدفق .

سنبدأ بالنظر في جسيم متوسط ​​، في موضع متوسط ​​على السرير ، يخضع لقوة سائلة متوسطة ؛ سنعود فيما بعد إلى مشكلة التحديد المناسب لهذه المتوسطات. لتبسيط الأمور أكثر ، افترض أن الاحتكاك يمنع انزلاق جسيم إلى آخر وأن الجسيم المتحرك يدور ببساطة حول محور طبيعي لاتجاه التدفق. الشرط لبداية الحركة إذن هو أن اللحظات التي تميل إلى تدوير الجسيم في اتجاه مجرى النهر تكون متوازنة فقط باللحظات (بالمعنى المقابل) التي تميل إلى تثبيت الحبوب في مكانها (الشكل 9.2.4).

لتحديد لحظة قوة المائع بالضبط ، علينا جمع كل حاصل ضرب القوى مضروبًا في مسافاتها الطبيعية من خطوط الحركة إلى المحور المحوري. يمكننا التبسيط أكثر بافتراض أن السرير أفقي وبالنظر ، في البداية ، إلى قوى السحب فقط. ومن ثم فمن الملائم النظر فقط في مكونات قوى الجاذبية والسحب التي تعمل بشكل طبيعي للخط الذي يربط المحور بمركز جاذبية الجسيم.

إجمالي العزم الناتج عن جمع قوى الجسم (مثل قوى الجاذبية المؤثرة على كل عنصر من عناصر الحجم المكونة للجسيم) هي نفس القوة الكلية مضروبة في مسافة مركز الجاذبية من المحور. يمكنك أن ترى بسهولة أنه إذا قسمنا قوة الجاذبية إلى مكونين ، عادي ومتوازي مع الخط الذي يربط المحور بمركز الجاذبية ، فيجب أن تكون اللحظة الناتجة عن ثاني هذه المكونات مساوية للصفر ، لأن هذا المكون لديه خط عمل يمر عبر المحور نفسه. لذا يمكننا كتابة شرط بداية الحركة على هذا النحو

[a_ {1} left (F_ {G} sin alpha right) = a_ {2} (F_ {D} cos alpha) label {9.1} ]

الجانب الأيسر من المعادلة المرجع {9.1} هو اللحظة الكلية بسبب الجاذبية ، والتي تميل إلى تدوير الحبوب في الاتجاه المعاكس للمحور أو تثبيتها في مكانها عكس الوقت بسبب قوى سحب السوائل التي تميل إلى تدوير الجسيم في اتجاه مجرى النهر. يمثل الجانب الأيمن لحظة سحب السوائل هذه بطريقة تقليدية بحتة. يجب حساب لحظة السحب فعليًا على أنها تكامل لجميع منتجات قوى السحب المؤثرة على كل عنصر من عناصر السطح ، مضروبًا في المسافة العادية لكل من هذه القوى من المحور. ولكن نظرًا لأننا لا نعرف توزيع قوى السحب على سطح الجسيم ، فلا توجد طريقة يمكننا من خلالها تقييم هذا التكامل ، لذلك يتم تمثيله تقليديًا ببساطة على أنه منتج للمكون الكلي للسحب ، (F_ { D} cos alpha ) ، والتي تعارض المكون الكلي للجاذبية ، (F_ {G} sin alpha ) ، مضروبة في المسافة العادية (a_ {2} ). لا يمكن تحديد قيمة (a_ {2} ) تحليليًا ، لذا فإن (a_ {2} ) هو في الواقع "عامل فدج" يتم اختياره لتحقيق توازن المعادلة.

يمكن كتابة قوة الجاذبية (F_ {G} )

[F_ {G} = c_ {1} D ^ {3} gamma ^ { prime} label {9.2} ]

حيث (c_ {1} ) هو معامل يأخذ شكل الجسيم في الاعتبار. يمكن افتراض أن قوة سحب السائل (F_ {D} ) تساوي متوسط ​​إجهاد القص الحدودي لمضاعفة مساحة الحبوب ، ويمكن كتابتها

[F_ {D} = c_ {2} D ^ {2} tau _ { mathrm {o}} label {9.3} ]

حيث يأخذ المعامل (c_ {2} ) في الحسبان ليس فقط هندسة وتعبئة الحبوب (التي تحدد "مساحة الحبوب") ولكن أيضًا تباين معامل السحب. وبالتالي يمكن توقع (c_ {2} ) أن يتغير مع حد رقم رينولدز. استبدال المعادلات ref {9.2} و ref {9.3} لـ (F_ {G} ) و (F_ {D} ) في المعادلة المرجع {9.1} وكتابة ( tau _ { text {o} } = tau_ {c} ) للحالة الحرجة

[a_ {1} c_ {1} D ^ {3} gamma ^ { prime} sin alpha = a_ {2} c_ {2} D ^ {2} tau_ {c} cos alpha label {9.4} ]

أو حل من أجل ( tau_ {c} ) ،

[ tau_ {c} = frac {a_ {1} c_ {1}} {a_ {2} c_ {2}} gamma ^ { prime} D tan alpha label {9.5} ]

يمكن جعل المعادلة ref {9.5} بلا أبعاد بقسمة كلا الجانبين على ( gamma ^ { prime} D ):

[ beta_ {c} = frac { tau_ {c}} { gamma ^ { prime} D} = frac {a_ {1} c_ {1}} {a_ {2} c_ {2}} tan alpha label {9.6} ]

حيث ( beta_ {c} ) ، القيمة الحرجة لمتغير بلا أبعاد ( tau_ {0} / gamma ^ { prime} D ) ، تسمى دروع ( bf { beta} ) أو ملف معلمة الدروع، ينبغي توقع أن تكون دالة لهندسة الحبوب وحدود رقم رينولدز. (تمت تسمية معلمة Shields على اسم مهندس أمريكي وضع دراسة الحركة الأولية لأول مرة على أساس منطقي في الثلاثينيات أثناء عمله في مختبر هيدروليكي في ألمانيا).

ما تخبرنا به المعادلة ref {9.6} هو أن معلمة Shields هي دالة لمصطلح يعتمد في حد ذاته على تأثيرات مختلفة ، هندسية وديناميكية.
الكميات (a_ {1} ) و (c_ {1} ) و ( tan alpha ) هندسية وتعتمد على شكل الحبوب وتغليفها. الكميات (a_ {2} ) و (c_ {2} ) هندسية جزئيًا أيضًا ، ولكنها تتضمن أيضًا اعتمادًا على تفاصيل التدفق حول الحبيبات والتوزيعات الناتجة لقوى الضغط والقوى اللزجة ، و وبالتالي فهي دالة على رقم رينولدز الحدودي. لا يمكننا المضي قدمًا إلى أبعد من المعادلة المرجع {9.6} دون معرفة المزيد عن تفاصيل هذا الاعتماد (Re _ {*} ) ، ناهيك عن مشكلة مراعاة شكل الجسيمات والتعبئة.

لا يختلف التحليل السابق كثيرًا إذا تم اعتبار الرفع وكذلك السحب ، لأنه يجب أن يكون هناك تناسب بين القوتين والذي يعتمد أيضًا على هندسة الحبوب وحدود رقم رينولدز.

في اشتقاق المعادلة المرجع {9.6} ، تم افتراض أن منحدر السرير صغير بشكل مهم. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فمن السهل توضيح أنه يجب استبدال ( sin alpha ) في المعادلة المرجع {9.6} بـ ( sin ( alpha- phi) ) ، حيث ( phi ) هي زاوية الانحدار (موجبة في اتجاه مجرى النهر). لذلك ، إذا بقيت الشروط الأخرى كما هي ، فإن زيادة ميل السرير تقلل من القيمة الحرجة لـ ( بيتا ).

ظهرت في الأدبيات العديد من الأساليب النظرية الأخرى للحركة الأولية ، على غرار ما ورد أعلاه ولكن مع الأخذ في الاعتبار تأثيرات أخرى ، مثل قوى الرفع ومنحدر السرير. لا شيء يأخذنا إلى أبعد من التحليل المبسط السابق.

التحليل البعدي

قائمة المتغيرات التي يجب أن تصف حالة الحركة الأولية واضحة إلى حد ما (الشكل ( PageIndex {1} )): ( tau _ { text {o}} ) ، (D ) ، ( rho ) و ( mu ) و ( rho_ {s} ) و ( gamma ^ { prime} ). لا ينبغي أن يكون عمق التدفق مهمًا ، لأن الجسيمات موجودة في الطبقة الداخلية لطبقة حدية مضطربة (انظر الفصل 4 من الجزء الأول) ، حيث يتحكم الهيكل المحلي للتدفق فقط في القوى التي تشعر بها جسيمات الطبقة.

قد تعتقد أن كثافة الرواسب ( rho_ {s} ) لا علاقة لها هنا ، لأن الرواسب لا تتحرك (حسب التعريف). في الواقع ، قد يكون ذلك مهمًا ، لأنه يؤثر على المقياس الزمني لاستجابة الجسيم لتسريع التدفق المفاجئ: عندما تكون الأشياء الأخرى متساوية ، كلما كان الجسيم أكثر كثافة ، كلما كان تسارعه أقل استجابةً للزيادة المفاجئة. في قوة المائع الناتجة إلى قيمة كبيرة بما يكفي لتحريك الجسيم. وهذا مهم للحركة الأولية ، لأن الجسيم قد يهتز من موضع السكون من خلال دوامة عابرة قوية بشكل غير عادي ، فقط ليعود إليها ولا يخضع لأي إزاحة دائمة.

نقطتان حول قائمة المتغيرات أعلاه تستحقان المزيد من التعليق. الأول يتعلق باختيار ( tau _ { text {o}} ) كمتغير يميز قوة التدفق. نظرًا لأنه في المادة الموجودة في الفصول السابقة حول التدفق حول الكرة كانت قوة السحب مرتبطة بالسرعة ، فقد تسأل بشكل معقول لماذا لا تستخدم السرعة بدلاً من ( tau _ { text {o}} ). أحد الإجابات هو أنه ، بعد كل شيء ، ما يحرك الحبيبات هو في الأساس قوة تعمل على السرير ، لذا فإن إجهاد القص الحدودي هو خيار منطقي أكثر من أي سرعة. (قد تستجيب بشكل معقول أن القوة نفسها ناتجة عن السرعة المحلية للتدفق حول الحبيبات.) هناك إجابة أخرى وهي أنه من الصعب تحديد السرعة التي يجب استخدامها بالضبط. السرعات الأكثر سهولة في القياس (السرعة المتوسطة للتدفق (U ) أو السرعة السطحية (U_ {s} )) لا تتعلق بأي طريقة واضحة أو مباشرة بالسرعة المقاسة بالقرب من السرير ، وهي ما الذي يحدد القوة التي تميل إلى تحريك الحبوب. إذا أردنا استخدام متوسط ​​السرعة ، فسيتعين علينا إضافة متغير آخر ، وهو عمق التدفق ، لأن السرعات المتوسطة نفسها قد تؤدي إلى سرعات مختلفة قريبة من السرير ، أو إجهادات قص ، إذا كان عمق التدفق مختلفًا. للتغلب على هذه المشكلات ، كان من الطبيعي دائمًا استخدام ( tau _ { text {o}} ) بدلاً من السرعة - ولكن تذكر أن الرسم البياني أو المعيار للحركة الأولية من حيث ( tau _ { يمكن دائمًا إعادة صياغة النص {o}} ) (مثل مخطط Shields الشهير ، المعروض أدناه) في شكل يتضمن سرعة التدفق وعمق التدفق ، إذا كانت السرعة هي التي تهتم بها أكثر.

النقطة الثانية هي أنه عند سرد المتغيرات التي اخترتها لدمج الجاذبية (g ) وكثافة الرواسب ( rho_ {s} ) في متغير واحد مع كثافة السوائل: ( gamma ^ {) رئيس} = ز يسار ( rho_ {s} - rho يمين) ). هذا يعادل افتراض أن التأثير الوحيد المهم لكل من كثافة الجاذبية والجسيمات هو التحكم في الوزن المغمور للجسيم. نحن نفترض أن موجات الجاذبية السطحية في المائع ليست مهمة - وهو ما يعادل افتراض أن التدفق ليس ضحلًا بدرجة كافية بحيث تؤثر حركة السائل فوق الحبيبات على السطح الحر. من الواضح أن هذا افتراض غير صحيح بالنسبة للأنهار الضحلة للغاية ذات قاع الحصى.

لذلك يجب أن تتوقع التعامل مع ثلاثة متغيرات مستقلة بلا أبعاد ، وبالتالي أن تكون قادرًا على التعبير عن شرط الحركة الأولية كسطح في رسم بياني ثلاثي الأبعاد. يمكن أن يكون أحد هذه نسبة الكثافة ( rho_ {S} / rho ). يجب أن يشتمل الاثنان الآخران على ( tau _ { text {o}} ) و (D ) و ( mu ) و ( gamma ^ { prime} ). كانت المتغيرات التقليدية هي الحد رقم رينولدز ( rho u _ {*} D / mu ) ومعلمة Shields ( tau_ {0} / gamma ^ { prime} D ) ، المقدمة بالفعل أعلاه.

[ text {threshold} = f left ( rho، mu، gamma، D، tau_ {0} right) label {9.7} ]

و ، عدم التبعية ،

[ frac { tau_ {c}} { gamma ^ { prime} D} = f left ( frac { rho u _ {*} D} { mu} right) label {9.8} ]

حيث ( tau_ {c} ) هي القيمة الحدية لإجهاد قص السرير.

أنت تعرف بالفعل عن الأهمية الهيدروليكية لحدود رقم رينولدز: إنه يميز طبيعة أو هيكل التدفق بالقرب من السرير. وتذكر من الفصل 8 أن معلمة Shields لها أيضًا معنى ماديًا حقيقيًا: بضرب معلمة Shields أعلى وأسفل في (D ^ {2} ) يمكنك أن ترى أنها تتناسب مع نسبة قوة السوائل على الجسيم لوزن الجسيم. لا يزال تأثير نسبة الكثافة ( rho_ {s} / rho ) غير واضح ، ولكن من المعروف أنه ليس كبيرًا ، وعلى أي حال ، فإن معظم مشاكل الرواسب تنطوي على رواسب كثيفة الكوارتز في الماء.

لذا بمجرد النظر إلى البنية البعدية لمشكلة الحركة الأولية ، توصلنا إلى نفس النتيجة التي توصلنا إليها من تحليل توازن القوة ، المعبر عنها بالمعادلة المرجع {9.6} ، في القسم السابق.


شاهد الفيديو: علوم الأرض توجيهي 11. جيل 2003. المضاهاة